% ----------------------------------------------------------------

\section{Definitionen III}
\subsection{Definitionen}

\begin{frame}{Definitionen}{Überschussfunktion, Konkavität \& Submodularität}

%-----

\begin{Überschussfunktion}

$U(B,Y) = \max\limits_{k \in K_{B,Y}} \left( \sum\limits_{(y_i,\theta_{y_i}) \in Y} v(k_{y_i}, \theta_{y_i}) \right)$ \cite{yokoo2004effect}

Schreibe $U(A,...)$ als $U_A(...)$

\end{Überschussfunktion}

\pause
%-----
	
\begin{Konkavität}

Bietermengen $W$, $Y$, $Z$ mit $Y \subseteq Z$, Gütermenge $A$

$U(A,Z \cup W) - U(A,Z) \leq U(A,Y \cup W) - U(A,Y)$

\end{Konkavität}

\pause
%-----

\begin{Submodularität}

Bietermenge X, Gütermengen $A$, $B$, $C$ mit $B \subseteq A$, $C \subseteq A$

$U(B,X) + U(C,X) \geq U(B \cup C, X) + U(B \cap C, X)$


\end{Submodularität}

%-----

\end{frame}

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\section{Proposition III}
\subsection{\texorpdfstring{$U$}{U} ist submodular \texorpdfstring{$\Rightarrow U_A$}{-> U(A,...)} ist konkav}

\begin{frame}{" $\Rightarrow$ "}{Hinreichende Bedingung}

\begin{Proposition3}
Wenn $U$ submodular ist, dann ist $U_A$ konkav.
\end{Proposition3}

\end{frame}

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\subsection{Proposition IV}
\subsection{\texorpdfstring{$U$}{U} ist nicht submodular \texorpdfstring{$\Rightarrow U_A$}{-> U(A,...)} ist in bestimmten Fällen nicht konkav}

\begin{frame}{" $\Leftarrow$ "}{Notwendige Bedingung}

\begin{Proposition4}
Wenn $U$ für eine Menge an Bietern $X$ nicht submodular ist, dann lässt sich ein Fall konstruieren, wo $U$ für eine andere Menge $Y$ zwar submodular, für $X \cup Y$ aber nicht konkav ist.
\end{Proposition4}

\end{frame}
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